雷达

雷达照射范围内目标判断

背景描述

老式雷达需要旋转来进行360°扫描，这种雷达称为机械扫描式雷达。

这种雷达天线发射的雷达信号宽度和方向是一定的，通过机械装置的旋转，使其能扫描360°方位内的目标。

由于机械扫描有一定的间隔时间，而且机械装置和天线安装位置的高度会影响其扫描的角度，因此这种雷达一般会有一定的死角，战争史上这种死角使军队遭受过较大的损失。

目前，无死角的扫描雷达已有许多成熟的产品(相控阵扫描雷达)，区别于传统的机械雷达，相控阵雷达是通过改变天线阵元的上电信号相位角，使其改变扫描方向，而且可以通过多通道控制和多频率馈电方式，实现雷达的多目标扫描和跟踪。这种雷达内部干扰小，再配合上高性能计算机，其信息处理能力远高于机械雷达。不过单块天线阵列只指能针对一定的角度，要想全360扫描，需要在空间上布置3~5块天线阵列，因此这种雷达体积较大。

雷达单个波束的照射范围一般呈锥形，锥形中心线到锥形边沿线的夹角(半锥角)称为雷达波束宽度。

判断雷达单波束照射范围内是否存在目标需要知道以下输入数据：

计算过程

整体思想：通过比对目标方向向量和雷达波束方向向量的夹角和雷达波束宽度的夹角判断目标是否在雷达波束范围内。

计算流程：

  flowchart LR
   计算目标方向向量 & 计算雷达波束方向向量--> 目标-雷达夹角-->比对向量夹角
   1/2*雷达波束宽度-->比对向量夹角

  

计算目标方向向量

计算导弹和目标之间的方向向量$\vec{MT}$，公式如下：

$$\vec{MT} = (X_t - X_m, Y_t - Y_m, Z_t - Z_m)$$

归一化该方向向量，公式如下：

$$\hat{MT} = \left( \frac{X_t - X_m}{|\vec{MT}|}, \frac{Y_t - Y_m}{|\vec{MT}|}, \frac{Z_t - Z_m}{|\vec{MT}|} \right)$$

其中 $|\vec{MT}|$ 是导弹与目标之间的距离，展开公式如下：

$$|\vec{MT}| = \sqrt{(X_t - X_m)^2 + (Y_t - Y_m)^2 + (Z_t - Z_m)^2}$$

计算雷达波束方向向量

根据雷达的方位角$\theta_r$ 和俯仰角$\phi_r$计算雷达波束中心线的方向向量，公式如下：

$$\hat{R} = (\cos(\phi_r) \cos(\theta_r), \cos(\phi_r) \sin(\theta_r), \sin(\phi_r))$$

对雷达波束方向向量进行归一化，公式如下：

$$|\hat{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2}$$

归一化后的方向向量为：

$$\hat{R}_{normalized} = \left( \frac{R_x}{|\hat{R}|}, \frac{R_y}{|\hat{R}|}, \frac{R_z}{|\hat{R}|} \right)$$

计算目标-雷达夹角

计算目标方向向量 $\hat{MT}$ 与雷达波束方向向量$\hat{R}_{normalized}$ 之间的夹角 $\alpha$，使用向量点积公式计算，公式如下：

$$\cos(\alpha) = \hat{MT} \cdot \hat{R}_{normalized} = \frac{(X_t - X_m) \cos(\phi_r) \cos(\theta_r) + (Y_t - Y_m) \cos(\phi_r) \sin(\theta_r) + (Z_t - Z_m) \sin(\phi_r)}{|\vec{MT}|}$$

比对夹角

判断目标是否在雷达波束范围内。如果夹角 $\alpha$ 小于波束的半锥角 $\beta$，则目标在波束范围内，否则不在。具体判断条件为：

$$\alpha \leq \beta$$

即判断：

$$\cos(\alpha) \geq \cos(\beta)$$

距离门

距离门又叫距离波门，类似距离仓。距离波门相当于是一个对时间进行采样的ADC。

预备知识

雷达发射一个电磁波，该电磁波碰到目标后反弹，设目标在电磁波往返时间内的移动距离不计，则可以根据电磁波的往返时间 $t$ 粗略计算目标距离 $R$ ：

$$t = \frac{2R}{c}$$

$$R = \frac{tc}{2}$$

采样率 $f_s$ ：每秒采集的采样点的个数，单位Hz或sps，sp表示采样点数。

采样周期 $T_s$ ：两次相邻采样之间的时间间隔。

采样频率和采样周期的关系如下：

$$T_{s}=\frac{1}{f_{s}}$$

采样时间：采样时间指的是信号在某一具体时刻被采样的时间点。每个采样时间对应一个采样点，也就是在该时刻对信号进行一次测量。

距离门解释

距离门是在规定时间内选择信号的电子电路。“门”的含义就是指：在这段规定的时间内允许信号通过，在其他时间“门”不允许信号通过，处于关闭状态，故而称为“门”，其实通俗理解就是一个开关，也可以和门函数的模型辅助理解。

接收机回波信号的幅度被距离波门（ADC芯片）周期性地采样，然后再由DSP处理器进行下一步的处理，如距离维FFT、速度维FFT等。

假如一共有100个门，每间隔0.01ms的时间依次按照顺序开合，则理想条件下，可以检测到的最远距离为：

$$R_{max}=\frac{t_{max}*c}{2} =\frac{100*0.01ms*10^{-3}*c}{2}=150Km$$

最小距离为：

$$R_{min}=\frac{t_{min}*c}{2} =\frac{1*0.01ms*10^{-3}*c}{2}=1.5Km$$

其中，最小探测距离1.5Km即为距离分辨率 。

若第81个距离波门捕捉到回波信号，则其代表的距离为：

$$R_{min}=\frac{t_{min}*c}{2} =\frac{81*0.01ms*10^{-3}*c}{2}=121.5Km$$

雷达工作指标

脉冲重复频率：PRF，脉冲周期的倒数

脉冲周期：PRI，脉冲重复间隔

脉冲宽度：一个脉冲周期中的有效宽度；也成为信号持续时间

信号带宽：单位脉冲宽度对应的增幅

采样频率：每秒采集多少个样本点

脉冲组个数：一个脉冲组对应一个周期；表示有几个脉冲周期

初始载频：–

射频信号

线性调频信号时频图

线性调频信号时频图的斜率由调频斜率K控制，K等于脉冲带宽B除以脉冲宽度Tp

$$K = \frac{B}{T_p}$$

在频谱图中可以看出，调频斜率K可以影响信号的频率宽度，频率的宽度越大频谱图斜率越大

由以下公式可知，脉冲初始频率和多普勒频移影响时频图的频率大小

$$2 \pi \left [ (f_c+f_d) t + \frac{1}{2} K t^2) \right ]$$

可以将时频图的公式看作一个y = kx + b的线性方程

$$2 \pi t \left [ \frac{1}{2} K t +(f_c+f_d) \right ]$$

$$2 \pi t \left [ aKt + b \right ]$$

上图目标速度v = 1500e3(单位: m/s)，下图目标速度v = 15000e3(单位: m/s)

总结：

多普勒频移：目标的运动速度会引起多普勒频移，导致信号的频率整体上移或下移。在时频图中，这表现为直线的位置变化，即直线在频率轴上的平移。
频率偏移：如果目标向雷达靠近，频率会增加；如果目标远离雷达，频率会降低。这种频率偏移不会改变信号的调频斜率。

调频斜率：直线的斜率由信号的调频斜率决定，即信号频率随时间变化的速率。目标的运动速度不会改变信号的调频斜率，因此不会影响时频图中直线的斜率。

瞬时频率与相位

频率是相位的微分（可以理解为相位的行进速度）

$$f(t)=\frac{每秒的相位变化}{2\pi}=\frac{1}{2\pi } *\frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}\\\theta (t)为瞬时相位\\f(t)为瞬时频率$$

相位

$$\theta=wt+\varphi \\w=\frac{2\pi}{T} \\\theta=\frac{2\pi}{T}t+\varphi \\\theta=2\pi ft+\varphi\\T是周期\\f是频率$$

欧拉公式：将三角函数转换为复指数形式

$$e^{j\theta } =\cos (\theta )+j\sin (\theta )\\j是虚数单位，j^{2}=-1\\\theta 是实数角度$$

将正弦信号转换为复指数形式

$$s(t)=A\cos(\theta (t))\\e^{j\theta (t)}+e^{-j\theta (t)}=\cos (\theta (t))+j\sin (\theta (t))+\cos (-\theta (t))+j\sin (-\theta (t))=2\cos (\theta (t))$$

所以

$$\cos (\theta (t))=\frac{e^{j\theta (t)}+e^{-j\theta (t)}}{2}$$

$$s(\theta (t))=A\cos (\theta (t))=A\frac{e^{j\theta (t)}+e^{-j\theta (t)}}{2}$$

取实部

$$s(\theta (t))=R_{e} \left \{ Ae^{j\theta (t)} \right \}$$

.

时域信号与频域信号

线性调频信号的脉冲宽度：频率 f 与信号持续时间呈线性相关

K为调频斜率：

$$K=\frac{B}{T_{c}}\\B为发射最大带宽，有时也被当做信号带宽\\B=f_{终}-f_{始}\\T_{c}为脉冲宽度，也叫信号持续时间$$

f0为起始频率

线性调频信号的复数形式

线性调频信号的复数形式可以得到时域信息。线性调频表示瞬时频率随时间线性变化。

$$s(t)=Ae^{j\theta (t)}\\\theta (t)为瞬时相位$$

$$\theta (t)=2\pi f_{0}t+\pi \mu t^{2}+\phi _{0}$$

既线性调频信号的复数形式为：

$$s(t)=Ae^{j(2\pi f_{0}t+\pi \mu t^{2}+\phi _{0})}$$

推导：

已知瞬时频率与相位的关系：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi } *\frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}$$

已知为线性调频信号：

$$f(t)=f_{0}+\mu t\\f_{0}为起始频率\\\mu 为调频斜率$$

其中，μ表示调频斜率

$$\mu = \frac{B}{T_{c}}\\B为发射最大带宽\\T_{c}为脉冲宽度$$

$$\frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}={2\pi }f(t)\\ \frac{\mathrm{d} \theta (t)}{\mathrm{d} t}={2\pi }(f_{0}+\mu t)\\ \theta (t)={2\pi }\int (f_{0}+\mu t)dt\\ \theta (t)={2\pi }\int(f_{0}\int dt+\mu\int t dt)\\ \theta (t)=2\pi (f_{0}t+\mu\frac{t^{2}}{2})+\phi_{0}\\ \phi_{0}为积分常数$$

快时间和慢时间

快时间关注一个波，可以计算距离

慢时间关注一连串波，可根据一连串波的相位变化计算速度

快时间对应采样周期、采样频率

慢时间对应脉冲重复间隔（PRI）